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如何突破高中数学命题难点

2023-12-23 17:36:41

  如何突破高中数学命题难点

  高中数学分为几个必修,每个必修的数学知识都有一定的难度,以下是小编整理的如何突破高中数学命题难点,欢迎参考阅读!

  一、定位整体

  新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质,无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想.在本模块中,同学们将在义务教育的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流.”因此,学习逻辑用语,不仅要了解数理逻辑的有关知识,还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用,使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁.

  二、明确重点

  “常用逻辑用语”分成三大节,分别为:命题及其关系,简单的逻辑联结词,全称量词与存在量词.

  “命题及其关系”分两小节:一、“四种命题”,此节重点在于四种命题形式及其关系,互为逆否命题的等价性;二、“充分条件和必要条件”,此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断.

  “简单的逻辑联结词”重点在于“且”、“或”、“非”这三个逻辑联结词的理解和应用.

  “全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义,以及正确做出含有一个量词的命题的否定.

  三、突破难点

  1.“四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假

  例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

  (1)全等三角形的面积相等;

  (2)>时,方程2-+1=0无实根;

  (3)若α≠,则α≠30°.

  解析(1)条件为两个三角形全等,结论为它们的面积相等.因此,原命题即为“若两个三角形全等,则它们的面积相等”,逆命题为“若两个三角形面积相等,则它们全等”,否命题为“若两个三角形不全等,则它们的面积不相等”,逆否命题为“若两个三角形面积不相等,则它们不全等”.根据平面几何知识,易得原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.

  (2)原命题即为“若>,则方程2-+1=0无实根”,逆命题为“若方程2-+1=0无实根,则>”,否命题为“若≤,则方程2-+1=0有实根”,逆否命题为“若方程2-+1=0有实根,则≤”.根据判别式Δ=1-4的正负可知,原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

  (3)原命题即为“若α≠,则α≠30°”,逆命题为“若α≠30°,则α≠”,否命题为“若α=,则α=30°”,逆否命题为“若α=30°,则α=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难,但考虑到原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价,因此可以先考虑逆否命题和否命题;由三角函数的知识,可知原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.

  突破对于判断命题的真假,我们需要先弄清何为条件、何为结论,然后根据相应的知识进行判断,当原命题不容易直接判断时,可以先判断其逆否命题的真假性,从而得到原命题的真假性.

  2.“充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

  例2在下列命题中,判断是的什么条件.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)

  (1):||≥2,∈;:方程2+++3=0有实根.

  (2):圆2+2=2与直线++=0相切;:2=(2+2)2,其中2+2≠0,≠0.

  (3)设集合={|>2},={|<3},:∈∩;:∈∪.

  解析(1)当||≥2时,例如=3,此时方程2+++3=0无实根,因此“若则”为假命题;当方程2+++3=0有实根时,根据判别式有≤-2或≥6,此时||≥2成立,因此“若则”为真命题.故是的必要不充分条件.

  (2)若圆2+2=2与直线++=0相切,则圆心(0,0)到直线++=0的距离等于,即=,化简可得2=(2+2)2,因此“若则”为真命题;反过来,由2=(2+2)2,可得=,即圆心(0,0)到直线++=0的距离等于,由解析几何知识得圆与直线相切,因此“若则”为真命题.故是的充要条件.

  (3)∩=(2,3),∪=,若∈(2,3),此时显然有∈,因此“若则”为真命题;反过来,若∈,例如=5,此时?埸(2,3),因此“若则”为假命题.故是的充分不必要条件.

  突破①从逻辑的观点理解:判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性,若“若则”为真命题,则是的充分条件;若“若则”为真命题,则是的必要条件;若两者都是真命题,则是的充要条件;若两者都是假命题,则是的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解:建立命题,相应的集合.:={|()成立},:={|()成立}.那么:若?哿,则是的充分条件;若?哿,则是的必要条件;若=,则是的充要条件.若?芫且?芫,则是的既不充分也不必要条件.

  例3已知数列{}的前项和=+(≠0且≠1),求证:数列{}为等比数列的.充要条件为=-1.

  解析充分性:当=-1时,1=-1;当≥2时,=--1=-1(-1).于是当≥1时,=,即数列{}为等比数列.

  必要性:当=1时,1=1=+;当≥2时,=--1

  =-1(-1).因为≠0且≠1,于是=.又因为数列{}为等比数列,所以==,即=,解之得=-1.

  综上所述,=-1为数列{}为等比数列的充要条件.

  突破证明是的充要条件需要分两步:①充分性,把作为已知条件,结合命题的前提条件,推出;②必要性,把作为已知条件,结合命题的前提条件,推出.最后综上所述,可得是的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立,而不管它对结论成立是否必要;必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少,而不管它对结论成立是否充分.因此,在进行恒等变形或探求充要条件的过程中,只注意推导过程的充分性,其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性,其结果有可能扩大范围.

  3.“简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

  例4指出下列命题的真假.

  (1)-1是奇数或偶数;

  (2)属于集合,也属于集合;

  (3)?埭(∪).

  解析(1)此命题为“或”的形式,其中:-1是奇数;:-1是偶数.因为为真命题,所以原命题为真命题.

  (2)此命题为“且”的形式,其中:属于集合;:属于集合.因为只有为真命题,所以原命题为假命题.

  (3)此命题为“非”的形式,其中:?哿(∪).因为为真命题,所以原命题为假命题.

  突破判断如“或”、“且”、“非”形式的复合命题的真假时,首先要确定命题的构成形式,然后判断其中各简单命题的真假,最后再利用真值表判断复合命题的真假.

  例5写出下列各命题的否定和否命题.

  (1)若+是偶数,则,都是奇数;

  (2)若=0,则=0或=0.

  解析(1)命题的否定:若+是偶数,则,不都是奇数;否命题:若+不是偶数,则,不都是奇数.

  (2)命题的否定:若=0,则≠0且≠0;否命题:若≠0,则≠0且≠0.

  突破命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定题设,又否定结论.需注意“=0或=0”的否定是“≠0且≠0”而不是“≠0或≠0”;“,都是奇数”的否定是“,不都是奇数”而不是“,都不是奇数”.

  4.“全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定

  例6判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,并判断真假.

  (1)有一个实数α,α无意义;

  (2)任何一条直线都有斜率;

  (3)?埚<0,使2++5<0;

  (4)自然数的平方是正数.

  解析(1)存在性命题,当α=时,α无意义,因此原命题为真命题.

  (2)全称命题,当倾斜角为时,该直线斜率不存在,因此原命题为假命题.

  (3)存在性命题,由判别式可知Δ=1-4×5=-19<0,所以对?坌∈,2++5>0,因此原命题为假命题.

  (4)全称命题,存在自然数0,其平方不是正数,因此原命题为假命题.

  突破①要判定全称命题“?坌∈,()”为真命题,需要对集合中每个元素,证明()成立;如果集合中找到一个元素0,使得()不成立,那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚0∈,()”为真命题,只需在集合中找到一个元素0,使得(0)成立即可;如果在集合中,使()成立的元素不存在,那么这个存在性命题是假命题.

  例7写出下列命题的否定.

  (1)面积相等的三角形是全等三角形;

  (2)有些质数是奇数;

  (3)对?坌∈,2++1=0都成立;

  (4)?埚∈,2+2+5>0.

  解析(1)原命题是全称命题,故其否定为:存在面积相等的三角形不是全等三角形.

  (2)原命题是存在性命题,故其否定为:所有的质数都不是奇数.

  (3)原命题是全称命题,故其否定为:?埚∈,使2++1≠0.

  (4)原命题是存在性命题,故其否定为:对?坌∈,2+2+5≤0都成立.

  突破全称命题与存在性命题的区别在于构成两种命题的量词不同.实质上,“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述,因此在书写全称命题与存在性命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从对量词的否定入手书写命题的否定.全称命题的否定是存在性命题,而存在性命题的否定是全称命题.

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