大学数学知识点：曲线积分

　　大学数学知识点：曲线积分

　　在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。下面是其相关内容，一起来学习下吧：

　　基本简介：

　　举例

　　先看一个例子：设有一曲线形构件占面上的一段曲线，

　　设构件的密度分布函数为ρ(,，设ρ(,定义在上且在上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρ求得质量;对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,=ρ(,;所以=∫ρ(,;是积分路径，∫ρ(,就叫做对弧长的曲线积分。

　　定义

　　设为平面上的一条光滑的简单曲线弧,(,在上有界，在上任意插入一点列1,2,3…,把分成个小弧段Δ的'长度为，又(,是上的任一点，作乘积(,*,并求和即Σ(,*，记λ=(，若Σ(,*的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与的分法及在的取法无关，则称极限值为(,在上对弧长的曲线积分，记为：∫(,*;其中(,叫做被积函数，叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

　　(上述定义并不完全严谨，给出新的定义：在矢量场中，任取一连接点0与1的光滑曲线，此时向量0记作0，向量1记作1，用Δ表示位于曲线的切线上，以切点为始点而模(其中Δ为粗体等于弧元Δ的小矢量，作标积Δ=Δ=Δ，是Δ始点的矢量，是在弧的切线上的投影。将所有弧元Δ的标积相加，并使弧元数量无限制增加且使得每一弧元长度趋向于0，求的极限，所以=。我们称为矢量沿曲线的曲线积分。

　　类别

　　曲线积分分为：对弧长的曲线积分(第一类曲线积分

　　对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分

　　两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素;例如：对的曲线积分∫(,*。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素或，例如：对’的曲线积分∫(,+(,。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

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